多项抽样

我们的出发点是一个入住率矩阵与元素这给了我们观察到的丰富的类群在社区样本中在哪里从1到类群总数,从1到社区总数．我们将表示这个矩阵中的行，这些行给出了每个社区样本的入住情况向量．我们假设每个社区样本都是由一个带参数向量的多项分布生成的．的元素，，是个体从社区读取的概率属于物种．多项式分布对应于从群落中进行置换的抽样。这就提供了观察每个社区样本的可能性:(1）在哪里是来自每个社区的总阅读数吗．总似然是社区样本似然的乘积:

狄利克雷混合先验

在贝叶斯方法中，我们现在需要定义多项式参数概率向量的先验分布．我们将这些称为“社区”，因为它们反映了社区的底层结构这是采样。基于狄利克雷分布的先验是自然的，因为它是共轭多项式，并且(我们将讨论)有许多方便的性质。狄利克雷函数是分布上的概率分布:（2）这个分布有我们可以用向量来表示参数这是一种测量方法，即所有元素都是严格正的，．我们可以表达,在那里而且是标准化的措施吗．的元素然后给出平均值价值观和价值观就像一个精度，决定了值与这个平均值有多接近:一个大给出的平均值方差很小，而一个小导致广泛分布的样本。从概念上讲，我们将这些参数视为描述一个“元社区”，从其中可以采样不同的社区。狄拉克函数确保规范化，即。．

为了提供一个更灵活的建模框架并允许聚类，我们在混合之前扩展了这个单一的狄利克雷狄利克雷,索引，每个都有参数和重量[22]，[23]．每个社区载体假设从单个元社区派生。对于每个样本，我们用a表示-维指示向量它由0组成，除了对应于该样本的元群落的项从它得到等于1。向量的先验概率就是混合权重，所以:（3）完整的混合先验是:（4）其中狄利克雷分布由方程2给出，混合先验超参数为．

通过在狄利克雷参数上放置独立和同分布的超先验，可以改善模型的数值行为,也就是说,．因此,（5）因为我们稍后将使用以下重新参数化:，利用概率密度函数的变变量公式进行先验的转换变成一个，得到的结果是:(6）

多项式参数的后验分布

群落参数的后验分布是通过将狄利克雷混合先验乘以多项似然(公式1)并适当归一化得到的：(7）狄利克雷是多项式的共轭先验对于单个狄利克雷，后验本身就是一个狄利克雷，其参数是通过将观察到的计数和狄利克雷参数相加得到的，．对于狄利克雷混合，这种共轭性保持不变，式7也可以写成狄利克雷混合:（8）我们将讨论后验概率的计算，，对于来自下面元群落的样本。

多项式参数的边缘化

式7的分母等于，证据为社区样本．这是通过对分子，即混合先验积分得到的乘以概率高于所有可能的社区前科。它是观察到这个数据的完全概率，将看不见的概率矢量边缘化．狄利克雷先验的一个有用的性质是这个证据具有闭合形式。只关注单一的混合物成分：这里的函数为多项贝塔函数，可以用函数表示为:到目前为止，我们只考虑了单个社区样本的后验和证据．所有样本的证据只是每个样本的证据的乘积:（9)

混合dirichlet先验拟合的EM算法

我们拟合混合狄利克雷函数的策略是最大化给定超先验的证据。严格的贝叶斯方法是从未观测到的超参数中采样，，和潜变量，在给定超先验条件下，采用马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)算法，然后进行边缘化。这对于高维空间来说是具有计算挑战性的在微生物学数据中遇到的载体。最大化证据允许我们获得一个参数向量，它将对应于给定超先验的最可能的参数集。这项技术已经很成熟，被称为“证据框架”。[21]，[26]．超参数的后验分布由证据(公式9)和超先验的乘积给出如式5所示。严格地说，为了将它与多项式参数的后验区分开，我们应该将其称为边际后验分布，但我们的意思应该从所使用的上下文清楚。我们也隐式地假设了其他分量的一致上先验，混合系数．最大化超参数的后验值等价于最大化超参数的后验对数，．因此:在哪里（10）

我们现在使用二元潜变量矩阵与元素等于1，如果社区样本属于元群落为Th，其他为0。这个矩阵的行是上面介绍的向量。这允许我们使用流行的期望最大化(EM)算法最大化对数后验分布[21]．用这些潜变量对数据进行增强，证据和对数后验分布分别为:利用Jensen不等式，我们得到了期望对数后验分布的下界:（11）我们可以计算如下:（12）我们用了贝叶斯定理．

后Sjolander等(1996)[22]，我们现在重新参数化和优化关于这些新参数的期望对数后验分布:以保持结果是肯定的，我们确定了，并保持正常化，我们设定．优化关于等价于解以下方程:重新排列这个方程，我们得到:因此:（13）

我们的EM算法这样就可以交替更新职责，混合系数和狄利克雷参数，：

• 计算用式12。
• 更新通过找到最小化方程11的负数的参数。在实践中，我们使用了Gnu科学库中实现的Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)算法[29]．
• 计算用式13表示。
• 重复，直到，可由式11计算。

我们将这种方法得到的超参数值称为最大后验估计(MPE)。

数据集

聚类元社区级别的双胞胎数据

dirichlet先验的混合可用于元群落水平的样本聚类。假设每个样本代表一个独特的社区，我们可以尝试推断该社区最有可能起源于哪个元社区。这是每个成员的后验概率最高的分量，即的值最大化对于一个特定的样本．我们将把这个值表示为．这些后验概率就是用EM拟合算法计算。

为了在元群落级别上使用混合狄利克雷先验聚类，我们首先需要确定聚类或混合成分的数量应该是。为了做到这一点，我们拟合狄利克雷混合物通过最小化负对数后验如上所述。为了计算模型拟合考虑到复杂性，我们然后使用拉普拉斯近似模型证据。我们这样做是为了增加的值从单一的组件开始．结果显示在图1我们在哪里看到最小值首先，对于这个数据集，混合的狄利克雷比单一的狄利克雷先验更合适，其次，混合有四个分量。

这四个分量都有权重．他们的不同之处在于他们的社区是如何变化的．因此我们有两个丰度较低的高可变聚类1和4和两个丰度较高的均匀聚类2和3。图形化地说明了这种最优聚类图2我们使用非度量多维尺度(NMDS)为每个社区样本生成二维位置，以及与四个狄利克雷分量相关的平均向量，用R的isoMDS函数反映它们的Bray-Curtis距离［３０］．由此可见，第一和第四个类群的变异性较高。另一个惊人的观察结果是，群落不一定与最接近的聚类平均值相关。这在一定程度上反映了二维空间的不完美映射，但它也可能反映了通过多项狄利克雷结构对抽样的适当解释。

为了探索组分组成，我们使用狄利克雷参数向量，通过拟合单一混合物的数据集作为参考，我们将表示．对感兴趣介于四个分量之间的值。我们可以通过计算它们与参考点的后验平均绝对差的总和来了解这些分量之间的差异有多大．对于与参考相同和完全不同的元社区，这个量将在0到200%之间变化。计算得出四个组成部分分别为34%、26%、51%和47%，共158%，说明参考文献中每个组成部分的群落结构存在很大差异。不同的OTUs是如何导致这些差异的表1．比较这四个成分的后验分布的均值，我们发现131个属中的30个占了这个差异的90%以上。单是拟杆菌门就占了这种差异的29%。该属在第三类群中占近39%，接近第二类群中23%的参考值，在第一和第四类群中分别约7%和8%的比例要低得多。第二个最显著不同的类别实际上是“未知”，在第四个成分中没有被分类的序列比参考成分多了近15%，在第三个成分中少了8%。粪便杆菌在第四个成分中明显不足，而普雷沃氏菌主要在第一个成分中发现。其他属表现出不同的模式，但我们经常看到在第一个和第四个簇中的一个或两个簇中有过多的代表，而在第二个和第三个簇中很少有代表，例如科林赛菌属、真杆菌属、链球菌属等。

这些模式也图解在相对频率的“热图”中显示图3．所有样本的簇间差异最大的30个属的相对频率均显示出来。如前所述，样本被分组到生成它们的概率最高的群集中。聚类均值在映射到该聚类的样本的右侧绘制。粗略地说，我们知道两个低方差的类群是由拟杆菌和粪杆菌主导的，尽管在第三个类群中占了更大的比例。变异较大的第一和第四个类群包含了更多种类的属，但第一类群中普雷沃氏菌属和粪卵形杆菌属要比第四类群多，而第四类群中没有真正占主导地位的属。

双胞胎数据的生成分类器

dirichlet -多项式框架也可用于分类。这是一种监督学习方法，与上一节中使用的无监督学习方法相反。这里，我们将考虑二进制类的情况，但任何数量的类都是一个简单的扩展。给定一个训练数据集样品对象表示类成员维向量与元素不是0就是1。分类问题是推导类一个新的样品．为此，我们将每个类关联一个单独的狄利克雷多项式混合模型。我们将这些混合物的超参数表示为而且,分别。然后我们可以对待分类样本的多项参数进行边缘化，从而:（16）样本的概率属于第二类和吗．先验类概率被估计为观测到的类频率，因此而且．类混合本身的确定与以前一样，但数据点仅限于这些类成员。我们还可以通过比较类的模型拟合和忽略类变量的模型拟合来确定拟合是否显著。这是我们的生成分类方案。

我们将把这个应用到双胞胎的数据，表明个人的“瘦”BMI通过和“肥胖”作为．我们将忽略“超重”类别，以避免歧义。在图4我们重新绘制的NMDS图图2使用这些类标签。没有根据类标签对点进行戏剧性的分离。我们发现精益是这样的单组分狄利克雷混合物组为最佳，肥胖组为最佳三类分量使模型证据的拉普拉斯近似最小化。三个肥胖成分的每一个的平均值是相当不同的，但整个先验抽样的后验平均值从所有三个根据他们的权重(黑圈在图4)接近于来自Lean类的单个组件(黑色星号)图4)。事实上，考虑到狄利克雷先验和这些样本的不确定性，那么只有一个低频属Megasphaera在不同的类之间有显著的差异表达，有97%的概率在肥胖人群中更丰富。此外，分别拟合两个类并没有比拟合整个数据集(35640 vs. 35385)提供明显更好的拟合。这一点从比较中也很明显图2而且图4每个类组件映射到整个数据集聚类中的一个组件，这是通过比较两组均值向量之间的Bray-Curtis距离来确认的，来自精益类的组件映射到整个数据集中的四个组件中的第二个，以及来自肥胖类的三个组件映射到第三、第一和第四。总之，瘦类和肥胖类之间的差异似乎不在于平均群体组成水平，而在于肥胖个体包含更多样化的群体结构，包括在完整数据集中发现的四个组成部分中的三个。

在最近对应用于微生物群落数据的分类算法的评估中，随机森林算法被发现表现最好[20]，大大优于弹性网、支持向量机和多项朴素贝叶斯(MNB)。随机森林算法是集成学习的一个例子，其中生成了许多分类器并聚合了它们的预测。特别是，它是被称为bootstrap aggreging或bagging的机器学习技术的扩展。套袋法从数据的自举样本中构造决策树，通过多数投票进行类预测。随机森林通过改变决策树的构造方式，为套袋增加了额外的随机性。不是使用在所有变量中使用最佳分割来分割每个节点，而是使用在随机选择的预测器子集中使用最佳分割。此外，随机森林算法还通过计算当该变量的数据被打乱时预测误差增加的多少来衡量该变量的重要性。因此，随机森林似乎是比较生成分类器性能的合适基准。紧随Knights等人(2011)[20]，我们使用R中的randomForest包实现了随机森林算法，尽管我们根据lilaw和Wiener(2002)建议的启发式方法调整了算法的参数(每个节点随机子集中的变量的数量和森林中的树的数量)。[31]．

为了比较两种分类方法，我们进行了留一种验证。我们依次从数据集中删除每个样本，训练分类器，并对缺失的数据点进行分类。如果预测概率大于或等于0.5，则将数据点指定为肥胖。与狄利克雷多项式生成分类器相比，随机森林算法的错误率(18.5%)略低，即样本错误分类的比例(22.4%)。检查每个分类器的“混淆矩阵”，表2，即每个真正的类中被划分为两个类的个体数量，这表明生成分类器在类之间确实有更好的错误分布。然后我们为每个分类器生成接收器工作特征(ROC)曲线。这些在图5．它们是通过降低肥胖的可能性对样本进行排序而生成的:对于生成分类器来说，这只是肥胖的概率，即。；对于随机森林，这是加权投票。然后我们将阈值从1.0降低到0.0，其间隔由样本概率定义。所有概率大于或等于给定阈值的样本被归为肥胖，其他所有样本被归为瘦。在这些分类的基础上，计算假阳性率(即瘦子被划分为肥胖)和真阳性率(肥胖被划分为肥胖)，并相互绘图。对所有阈值重复此操作。它是一种在所有决策阈值上总结分类器性能的方法。这两种分类器的性能都明显优于随机分类器，但在较低的阈值下，随机森林的性能优于生成分类器，且假阳性较少。一个汇总的统计数据是ROC曲线下的面积，对于随机森林，这是85%;狄里克莱多项式的回收率为79%。

IBD表型分析

最后，我们简要分析了炎症性肠病(IBD)的表型。在图6我们展示了一个NMDS图，根据表型对上述生成的数据集进行着色。由此可见，健康(H)个体，以及结肠克罗恩病(CCD)和溃疡性结肠炎(UC)的个体，具有相似的、相当同质的社区结构，而回肠克罗恩病(ICD)的个体在社区结构上有更大的变化。我们可以使用DMM模型来量化这一点，我们将单组分模型拟合到所有样本上，然后分别对每个表型进行拟合。的整个数据集的值为15.7，表型(H) 22.2， (CCD) 39.4， (ICD) 5.1， (UC) 38.5。记住,与方差的倒数相关，那么这证实了ICD表型与元群落变异性的增加相关。我们还展示了元社区的含义图6作为交叉:H, CCD和UC有相似的位置，而ICD的平均值是位移的。不同的otu是如何导致ICD样本的差异的表3在图片上图7．未知菌属、拟杆菌属和粪杆菌属的比例减少，而许多其他属如埃希氏菌/志贺氏菌属、萨特氏菌属和普雷沃氏菌属的比例增加。